§1.7 极限存在准则、两个重要极限

一、两边夹准则

如果数列、及满足下列条件：

(1)、

(2)、

那末数列的极限存在，且。

【证明】因 ，据数列极限定义，有

；

对于上述， ，故可取

则当 时，有 ， 同时成立，亦即：

从而有

亦即 成立

这就是说，

准则一还可推广到函数极限的情况：

如果函数，及满足下列条件：

（1）、（且 ），（或 ）时，有

成立；

（2）、

那么， 存在，且等于 。

二、重要极限之一

证明： 记 ， 由于 ， 我们不妨只究 这一情形加以证明，如下图所示：

从几何图形上可清楚地看出：

于是有两边夹的不等式

而 事实上， 当 ， 有：

据两边夹准则， 我们有：

而 是偶函数， 故

由函数的左右极限的性质知，

下面， 我们给出当从1开始，以 为步长减少而趋近于时， 的图象的动画演示。

【例1】用两边夹法则证明：半径为的圆面积为。

正多边形的面积公式为 ，是正多边形的周长，是边心距。

如下图所示，考虑圆的内接与外接正多边形的面积，n表示正多边形的边数。

显然有：，而

我们可得到圆的面积公式

至此，利用两边夹法则与１极限，用刘徽割圆术推导出了面圆积公式。借助计算机程序gs0103.m，可给出内外接正多边形夹逼圆面积的数值试验。

【例2】试证明：圆的周长与圆的直径之比为常数。

我们知道， 时，(圆的周长), ，故

三、单调有界准则

单调有界数列必有极限。

这一准则在几何上是非常显然的。例如：设数列单调增加且有上界A。在数轴上将数列的各项画出来， 它们严格地依次从左向右延伸， 且前方有点 A 挡住去路， 因此，这些点必在某点处产生“凝聚”，即：数列 收敛。

四、重要极限之二

记 利用二项展开式， 我们有：

这表明数列 有界， 它位于(0，3)之间。

另一方面， 仿上面的形式， 不难写出：

这说明，数列是单调增加的。

据准则二， 存在，记作： 。

由的展开式有：，因此， 常数。

由 有

运行matlab程序gs0104.m，可得出时，对应的数列项的近似值。

极限还可推广到更一般的情形：

利用变量替换 ，则 ，原极限可变成一种新的形式：

【例3】求

解： ， 令 ， 而 ，

且

原式 =

【例4】求极限

解： 令 ，

通过四个例子，可总结出如下求极限技巧。